百次重生：我在轮回尽头永 考场上的完美答卷(2/3)

　　

　　对了！

　　林澈几乎要拍桌子。他立刻在草稿纸上写：

　　“构造函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，$h(x)=e^{x^2}$。则$g(0)=0$，$h(0)=1$，且$g(x),h(x)$在$[0,1]$上满足柯西中值定理条件。故存在$\xi\in(0,1)$，使得

　　$\frac{g(1)-g(0)}{h(1)-h(0)}=\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}$

　　即$\frac{e^{-1}f(1)}{e-1}=\frac{e^{-\xi^2}[f'(\xi)-2\xi f(\xi)]}{2\xi e^{\xi^2}}$

　　化简得$f'(\xi)-2\xi f(\xi)=\frac{2\xi e^{2\xi^2-1}}{e-1}f(1)$”

　　还是不对，右边仍有$f(1)$。

　　林澈感到额头渗出细汗。记忆就像隔着一层毛玻璃，能看到轮廓但看不清细节。他确定赵建国讲过这道题，确定答案用到了柯西中值定理，但具体怎么消去$f(1)$……

　　“还有三十分钟。”赵建国的声音响起。

　　教室里一阵骚动。时间压力开始显现。

　　林澈强迫自己冷静。他盯着题目，一个字一个字地读：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$。

　　已知条件只有这些。要证明存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。

　　这意味着，无论$f(1)$是多少，总能找到这样的$\xi$。

　　一个想法突然冒出来：如果对任意的$f(1)$都能找到$\xi$，那么特别地，取$f(1)=0$时，由罗尔定理立即得证。但$f(1)$不一定为零……

　　等等，可以构造一个新函数！

　　林澈的笔尖在纸上疾书：

　　“考虑函数$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$。则$\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=f(1)-\frac{f(1)}{e-1}(e-1)=0$。

　　对$\varphi(x)$应用罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$\varphi'(\xi)=0$。

　　而$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{2xf(1)}{e-1}e^{x^2}$

　　故$f'(\xi)=\frac{2\xi f(1)}{e-1}e^{\xi^2}$

　　又由$\varphi(\xi)=0$得$f(\xi)=\frac{f(1)}{e-1}(e^{\xi^2}-1)$

　　两式消去$f(1)$，得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。证毕。”

　　写完最后一个**，林澈长长舒了口气。

　　他知道这不是标准答案，但逻辑严密，自洽。而且，这个解法展现了他对数学工具的灵活运用——构造辅助函数，利用罗尔定理，然后消去参数。

　　他抬头看钟，考试开始四十分钟。教室里大部分人还在挣扎，前排的学霸张涛眉头紧锁，显然也被最后一题难住了。苏雨薇在检查卷子，但眼神有些飘忽。

　　林澈开始从头检查。

　　第一题，$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$。他盯着那个$\frac{3}{5}$，那种不对劲的感觉又来了。他重新计算：$\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$，所以极限是$\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。

　　但$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$吗？$\tan\theta\sim\theta$当$\theta\to0$，这里$\theta=5x\to0$，没错。

　　可是……林澈闭上眼睛，前世赵建国讲解这道题的声音在脑中回响：“很多同学直接用了等价无穷小，但要注意，$\tan5x$在$x\to0$时确实是$5x$的高阶无穷小吗？我们严格计算一下……”

　　对了！赵建国当时强调了不能直接用等价无穷小，因为分子分母是加减关系？不，这里是乘除，可以用。

　　但教授说：“这道题我特意设计了一个陷阱，$\tan5x$在$x\to0$时等价于$5x$，但$\sin3x$等价于$3x$，所以答案是$\frac{3}{5}$——如果你这么想，就掉坑里了。因为$\tan5x=5x \frac{125}{3}x^3 O(x^5)$，展开到三阶项会影响结果吗？我们算一下……”

　　林澈的笔在草稿纸上飞快运算：

　　$\sin3x=3x-\frac{27}{6}x^3 O(x^5)=3x-\frac{9}{2}x^3 O(x^5)$

　　$\tan5x=5x \frac{125}{3}x^3 O(x^5)$

　　所以$\frac{\sin3x}{\tan5x}=\frac{3x-\frac{9}{2}x^3 O(x^5)}{5x \frac{125}{3}x^3 O(x^5)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1-\frac{3}{2}x^2 O(x^4)}{1 \frac{25}{3}x^2 O(x^4)}$

　　当$x\to0$时，这确实趋于$\frac{3}{5}$。所以答案没错。

　　但为什么教授要强调“陷阱”？

　　林澈突然明白了。教授是在说，虽然答案正确，但直接用等价无穷小的理由不够严谨，因为严格来说需要验证余项不影响极限。但作为一道选择题或者填空题，直接写$\frac{3}{5}$可以得分。作为计算题，可能需要写一两句说明。